Gli invarianti

Da tanti anni conosco un simpatico problema di grande matematica, ma contemporaneamente alla portata di chiunque voglia cimentarsi con un po’ di pazienza con la soluzione di un gioco matematico.

Se prendo una scacchiera con le sue 64 caselle e poi 32 pezzi del domino, ognuno dei quali copre esattamente due caselle, dovrei riuscire facilmente a ricoprire tutte le 64 caselle della scacchiera. Infatti 32×2 = 64, e quindi i pezzi del domino in teoria coprono tutte le caselle. Ma lo fanno realmente? Sì: ad esempio basta disporli orizzontalmente, 4 per riga, e il gioco è fatto.

Adesso però prendiamo una scacchiera alla quale sono stati tolti l’angolino in alto a sinistra e quello in basso a destra. Le caselle da coprire ora sono 62 e quindi veniamo forniti di 62:2 = 31 pezzi del domino. Si può ripetere l’operazione di copertura della scacchiera monca? In caso di risposta affermativa, bisogna fornire una soluzione; in caso di risposta negativa, bisogna dimostrare che non si può.

Chi ha piacere può fermarsi nella lettura e provare a risolvere.

Si può provare a risolvere, ma si rischia di annoiarsi, se ai primi tentativi non dovessimo trovare la soluzione. In questi casi io provo a risolvere un problema più semplice, ma che abbia la stessa struttura. In questo caso la scacchiera può venir presa di dimensioni minori, ad esempio di lato 6, oppure anche di lato 4 (sempre pari, altrimenti il problema viene distorto). In questo caso posso provare più volte, e vedrò che non ci sono soluzioni. Allora probabilmente non ci saranno soluzioni neppure con la scacchiera di lato 8 monca.

Ma… si può dimostrare che non c’è soluzione? Sì, ricorrendo agli invarianti. Gli invarianti sono un’importante pagina della matematica, e il loro funzionamento può esser compreso da tutti. Invariante è qualcosa… che non varia, e in questo problema, cosa c’è che non varia? Le caselle coperte da un pezzo del domino sono sempre una bianca e una nera. Allora nella scacchiera originaria, di 64 caselle ce ne sono 32 bianche e 32 nere: se agiamo correttamente, 32 pezzi del domino possono ricoprirlo, poiché ciascuno copre una bianca e una nera. Ma nella scacchiera monca di 62 caselle, ne sono sparite due dello stesso colore (la prima casella in alto e l’ultima in basso sono sempre dello stesso colore), e quindi ora ne abbiamo 30 di un colore e 32 di un altro. Siccome ogni pezzo del domino ne copre due di colori diversi, togliendo per 30 volte una bianca e una nera, ad un certo punto ne restano due dello stesso colore, e a questo punto non si può riuscire più nell’intento di ricoprirlo. Quindi non c’è soluzione e l’abbiamo dimostrato!

www.giorgiodendi.it

 



Informativa sui Cookie

Informativa ai sensi dell’art. 13 D.LGS. 30 giugno 2003 n.196

NotizieInUnClick.it utilizza i cookie per migliorare l'esperienza di navigazione.
Per leggere di più su i cookie utilizzati interni e di terze parti visita la pagina dedicata.
Per continuare a navigare questo sito acconsenti all'uso dei cookie.

Utilizzando il sito, accetti l'utilizzo dei cookie da parte nostra. Maggiori informazioni

Questo sito utilizza i cookie per fornire la migliore esperienza di navigazione possibile. Continuando a utilizzare questo sito senza modificare le impostazioni dei cookie o cliccando su "Accetta" permetti il loro utilizzo.

Chiudi