La geometria delle piastrelle

Chi mi conosce e segue quanto scrivo in questa rubrica sa che mi “aggrappo” ad ogni evento della mia giornata per tirarne fuori qualche ragionamento matematico o enigmistico. Sì, mi capita sempre di venir distratto da qualcosa di curioso che poi mi porta ad inventare un nuovo gioco o semplicemente qualche ragionamento da condividere con gli amici, che, chissà, forse quando sono girato dall’altra parte, si fanno qualche segno d’intesa per dire che sono proprio matto. E il bello è che hanno ragione!

Alcuni giorni fa ho notato in una chiesa delle piastrelle sistemate come vedete dal collage fatto a livello amatoriale: ci sono delle piastrelle quadrate allineate una vicina all’altra, ma ad un certo punto la coreografia cambia e le piastrelle vengono girate di 45°. I quadrati, assieme a triangoli equilateri e esagoni regolari, sono le uniche figure piane regolari che possono tassellare il pavimento o una parete, ma qui ad un certo punto hanno rovinato questa armonia, e cosa è successo? Ovviamente nei punti di collegamento fra le due disposizioni, le diagonali di una serie di quadrati coincidono con i lati degli altri quadrati, e a scuola ci hanno insegnato che lato e diagonale del quadrato sono “incommensurabili”. In parole più semplici, se allineiamo da una parte alcuni quadrati e dall’altra parte altri mezzi quadrati, in modo che le diagonali dei secondi tocchino i lati dei primi (cioè come si vede nella foto), non capiterà mai che finiscano nello stesso punto i quadrati da entrambi i lati. Invece nella foto sembra quasi che sette piastrelle allineate in un senso e cinque piastrelle allineate nell’altro coincidano. Insomma 7 lati e 5 diagonali “quasi” equivalgono. Ma… quanto “quasi”?

Proviamo a costruire, adesso che abbiamo questi due valori in gioco, un quadrato di lato 5 e tracciamo la diagonale. Con Pitagora calcoliamo la lunghezza di questa diagonale. Si deve calcolare il quadrato della misura del lato (otteniamo 25), raddoppiarlo (siamo a 50) e fare la radice quadrata. Ovviamente la radice non viene intera, ma… proprio per sfortuna, perché se avessimo da calcolare la radice non di 50, ma di 49, avremmo un risultato intero, cioè 7. Ci sono altre combinazioni di numeri che per un pelino non permettono di ottenere la radice quadrata perfetta? Certo, ad esempio con la coppia 70, 99: se costruiamo un quadrato di lato 70, anche in questo caso per calcolare la diagonale facciamo il quadrato del lato (4900), lo raddoppiamo (9800) e per una unità anche in questo caso non abbiamo il numero intero; infatti se avessimo 9801, troveremmo il quadrato di 99.

Le combinazioni che permettono questi eventi sono state studiate dai matematici: prima da Archimede, con il “problema dei buoi” e successivamente con la nota “equazione di Pell”, ma soprattutto da me, con le piastrelle viste in un pavimento la scorsa settimana.

www.giorgiodendi.com



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