La matematica di Diofanto

Molte grandi pagine della Matematica possono esser affrontate anche da giovani studenti, forse forniti di un piccolo bagaglio di nozioni, ma che hanno piacere di scoprire cosa stia alla base di un grande Teorema.

Vediamo allora di scoprire oggi le equazioni diofantee. Per prima cosa, vediamo cosa dice la Matematica se vogliamo scoprire alcuni numeri misteriosi. Se dobbiamo scoprire un numero solo, ci vuole ovviamente, un’informazione. Ad esempio se volete scoprire il mio giorno di nascita, vi basterà sapere che questo numero è la terza parte di 93. Trovato?

Per scoprire due numeri, invece, la Matematica dice che ci vogliono due informazioni. Ad esempio, per scoprire di quanti euro sono state le ultime due spese che ho fatto oggi, delle quali ho gli scontrini qui sul tavolo, non basta sapere che la loro somma fa 49: occorre sapere ad esempio che la differenza fra i due importi fa 11. Trovati?

Proseguendo con simili ragionamenti, possiamo immaginare che per scoprire tre numeri ci vorranno tre informazioni. In linguaggio più matematico si dice che per trovare tre incognite ci vogliono tre equazioni. Per dirla ancora meglio, le tre equazioni devono essere “linearmente indipendenti”, cioè se sappiamo che A + B vale 15, poi il sapere che il doppio di A sommato al doppio di B vale 30 non ci dice nulla di nuovo, quindi questa seconda informazione risulta inutile.

Però… può succedere in qualche caso che basti una sola informazione anche per scoprire due numeri? Ad esempio se i numeri civici delle abitazioni di due miei amici, sommati, danno 2, sappiamo subito che entrambi abitano al numero 1. Analogamente se la somma vale 3, i due numeri sono 1 e 2. Anche nel caso che il prodotto valga ad esempio 23, siccome 23 è un numero primo, i due numeri non possono essere che 1 e 23. Questo risultato si può ottenere, ripeto, con una sola informazione, poiché stiamo cercando due numeri civici, che sappiamo essere interi e positivi.

Ecco, questo studiò a suo tempo Diofanto: numeri interi e positivi da scoprire, in situazioni nelle quali inaspettatamente occorrono poche informazioni per trovare la soluzione.

Però si possono trovare dei numeri, anche molti, con una sola informazione? Sì, ad esempio, se i numeri da trovare (avevamo detto che devono comunque essere positivi ed interi), fossero 73, 5, 310, 43 e 82, potremo moltiplicare il primo numero per un bilione, il secondo per un miliardo, il terzo per un milione, il quarto per mille e il quinto per uno, e sommare i prodotti ottenuti. Avremo così 73.005.310.043.082. Comunicando che questo numeraccio è la somma del primo numero moltiplicato per un bilione, il secondo per un miliardo, il terzo per un milione, il quarto per mille, e il quinto per uno, chiunque riesce a risalire ai cinque numeri iniziali: basterà spezzare il numerone dove ci sono i punti, e si troveranno i cinque numeri (unica avvertenza: dobbiamo sapere all’inizio che ciascun numero deve essere inferiore a 1000). In parole povere basta dire, tra un numero e l’altro, le parole “bilioni”, “miliardi”, “milioni” e “mila” e così “settantatre bilioni cinque miliardi trecentodieci milioni quarantatre mila ottantadue” verrà poi decifrato come “settantatre”, “cinque”, “trecentodieci”, “quarantatre”, “ottantadue”. Semplice, no?

www.giorgiodendi.it



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