Son sempre gli stessi numeri…

Spesso mi capita di dire nelle scuole che visito che, una volta incontrati dei numeri in una certa successione, anche se si risolve un problema completamente diverso, può capitare di ritrovare gli stessi valori.

E’ ovvio che un certo campo può avere un lato di 58 metri, lo zio può avere 58 anni, il diametro della ruota della bicicletta può misurare 58 centimetri, e un’automobile supererà l’altra dopo 58 minuti, ma ci può anche essere un legame maggiore fra i vari numeri di risposte a vari problemi.

Sulla Settimana Enigmistica di questa settimana viene proposta la prova d’intelligenza che ora cito.

Filippo dichiara che in treno a ognuna delle quattro fermate sono salite un numero di persone pari esattamente al dieci per cento delle persone già presenti. A questo punto l’amico di Filippo gli dice di non credere alle sue parole. Perché?

Risposta: perché si possa per quattro volte aumentare del 10%, occorre che all’inizio ci siano come minimo 10.000 persone, e così dopo le quattro stazioni ci sono rispettivamente 11.000, 12.100, 13.310, 14.641 persone, un po’ troppe per stare in un treno. Le altre soluzioni possibili sono tutte quelle con all’inizio un numero di passeggeri multiplo di 10.000, quindi ancora maggiore.

Ma… dicevo all’inizio, questi numeri hanno qualcosa di curioso? Se leggiamo nelle varie fasi il numero di passeggeri, tralasciando gli zeri finali, otteniamo 1, 11, 121, 1331, 14641. E cosa sono questi numeri? Sono le potenze di 11. I matematici lo sanno anche spiegare, questo strano fenomeno, che fa comparire numeri simili a quelli visti prima.

Ma non è finita qui. Al liceo si studia il triangolo di Tartaglia: E’ un triangolo con tanti numeri, ognuno dei quali è la somma dei due che gli stanno sopra, uno a destra e uno a sinistra, e serve per trovare i coefficienti binomiali. I numeri del triangolo di Tartaglia sono molto utili, poiché danno velocemente la soluzione a tanti problemi di combinatoria.

Ma, sotto la riga 1 4 6 4 1 troviamo la riga 1 5 10 10 5 1. Come la mettiamo con il collegamento con le potenze di 11 trovato prima? Se noi usiamo quelle cifre per scrivere un numero, quando ci troviamo di fronte un numero di due cifre, possiamo fare come si faceva alle elementari, dove si “scriveva 0 e si riportava 1”, e allora il nostro numero 1 5 10 10 5 1 diventa in breve 161.051, che vale effettivamente 11 elevato alla quinta potenza. Anche la riga successiva di Tartaglia, cioè 1 6 15 20 15 6 1, scritta tenendo conto dei riporti, diventa 1.771.561. Ovviamente se anche il treno dovesse fare più fermate, e ogni volta salissero un numero di viaggiatori pari al 10% dei presenti, i numeri sarebbero ancora simili a questi trovati. Insomma, tutto è collegato, in matematica!

www.giorgiodendi.it



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